2019年高三数学(理科)一轮复*课时训练北师大版26*面向量的概念及线性运算Word版含解析

发布时间:2021-07-27 06:59:03

课时分层训练(二十六) *面向量的概念 及线性运算 (对应学生用书第 250 页) A组 一、选择题 1.给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若 a,b 都是单位向 → → 量,则 a=b;③向量AB与BA相等.则所有正确命题的序号是( A.① C.①③ A B.③ D.①② ) 基础达标 [根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量 的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误; → → 向量AB与BA互为相反向量,故③错误.] 2.(2018· 武汉调研)设 a 是非零向量,λ 是非零实数,则下列结论正确的是( ) 【导学号:79140147】 A.a 与-λa 的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a 与 λ2a 的方向相同 D.|-λa|≥|λ|a C [A 中,当 λ<0 时,a 与-λa 方向相同,故 A 不正确;B 中,当-1<λ <1 时,|-λa|<|a|,故 B 不正确;C 中,因为 λ2>0,所以 a 与 λ2a 方向相 同,故 C 正确;D 中,向量不能比较大小,故 D 不正确,故选 C.] → → → → → 3.(2017· 广东东莞二模)如图 411 所示,已知AC=3BC,OA=a,OB=b,OC= c,则下列等式中成立的是( ) 图 411 3 1 A.c=2b-2a B.c=2b-a C.c=2a-b 3 1 D.c=2a-2b → → → → → → → → 3→ → A [因为AC=3BC, OA=a, OB=b, 所以OC=OA+AC=OA+2AB=OA+ 3 → → 3→ 1→ 3 1 ( OB - OA ) = 2 2OB-2OA=2b-2a,故选 A.] 4.(2017· 全国卷Ⅱ)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则( A.a⊥b C.a∥b B.|a|=|b| D.|a|>|b| ) A [法一:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2. ∴a2+b2+2a· b=a2+b2-2a· b. ∴a· b=0.∴a⊥b. 故选 A. → → 法二:在?ABCD 中,设AB=a,AD=b, → → 由|a+b|=|a-b|知|AC|=|DB|, 从而四边形 ABCD 为矩形,即 AB⊥AD,故 a⊥b.故选 A.] 5.(2017· 河南中原名校 4 月联考)如图 412 所示,矩形 ABCD 的对角线相交于 → → → 点 O,E 为 AO 的中点,若DE=λAB+μAD(λ,μ 为实数),则 λ2+μ2=( ) 图 412 5 A.8 1 B.4 C.1 5 D.16 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → → 1→ 3 → A [DE=2DA+2DO=2DA+4DB=2DA+4(DA+AB)=4AB-4AD, 所以 λ 1 3 5 = ,μ=- ,故 λ2+μ2= ,故选 A.] 4 4 8 二、填空题 → → → → 6.已知 O 为四边形 ABCD 所在*面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等 → → → → 式OA+OC=OB+OD,则四边形 ABCD 的形状为________. *行四边形 → → → → → → → → [由OA+OC=OB+OD得OA-OB=OD-OC, → → 所以BA=CD,所以四边形 ABCD 为*行四边形.] 7.(2015· 全国卷Ⅱ)设向量 a,b 不*行,向量 λa+b 与 a+2b *行,则实数 λ= ________. 1 2 [∵λa+b 与 a+2b *行,∴λa+b=t(a+2b), 1 λ = ? ? λ = t , ? 2, ? 即 λa+b=ta+2tb,∴? 解得? 1 ? ?1=2t, ? ?t=2. ] → → → → → → → 8.在△ABC 中,点 M,N 满足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,则 x= ________;y=________. 【导学号:79140148】 1 2 1 -6 → → → 2→ [∵AM=2MC,∴AM=3AC. → → → 1 → → ∵BN=NC,∴AN=2(AB+AC), → → → 1 → → 2→ ∴MN=AN-AM=2(AB+AC)-3AC 1→ 1→ =2AB-6AC. 1 1 → → → 又MN=xAB+yAC,∴x=2,y=-6.] 三、解答题 9.如图 413,在△ABC 中,D,E 分别为 BC,AC 边上的中点,G 为 BE 上一 → → → → 点,且 GB=2GE,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示AD,AG. 图 413 → 1 → → 1 1 [解] AD=2(AB+AC)=2a+2b. → → → → 2→ → 1 → → AG=AB+BG=AB+3BE=AB+3(BA+BC) 2→ 1 → → =3AB+3(AC-AB) 1→ 1→ =3AB+3AC 1 1 =3a+3b. → → → 10.设 e1,e2 是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1 -e2. (1)求证:A,B,D 三点共线; → (2)若BF=3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线,求 k 的值. [解] → → → (1)证明:由已知得BD=CD-CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2, → → → ∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD. → → 又∵AB与BD有公共点 B, ∴A,B,D 三点共线. → (2)由(1)可知BD=e1-4e2, → ∵BF=3e1-ke2,且 B,D,F 三点共线, → → ∴BF=λBD(λ∈R), 即 3e1-ke2=λe1-4λe2, ? ?λ=3, 即? 解得 k=12. ? - k =- 4 λ . ? B组 能力提升 → 1→ 11.(2017· 河北衡水中学三调考试)在△ABC 中,

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